การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสอง ม.2

การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสอง

พหุนาม คือ จำนวนที่เขียนในรูปผลบวกหรือผลต่างของเอกนามที่ไม่คล้ายกัน เช่น

2x+5z, 7x-3z, 3b^-5, 57a^-5c^-4, 9x³+4y เป็นต้น

                การแยกตัวประกอบ คือ การเขียนจำนวนใดๆในรูปแบบของการคูณกันของจำนวน เช่น   การแยกตัวประกอบของ 36 คือ 36 = 2×2×3×3

                การแยกตัวประกอบของพหุนาม คือ การเขียนพหุนามในรูปการคูณกันระหว่างพหุนามกับค่าคงที่ หรือ ระหว่างพหุนามกับพหุนามก็ได้

1.วิธีการแยกตัวประกอบมี 3 วิธีด้วยกัน

            1.1.การแยกตัวประกอบวิธีดึงตัวร่วม

                                ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 9x³-12

                        จากโจทย์เห็นได้ว่าสามารถเขียนพหุนามในรูปการคูณได้ดังนี้

                                (3×3×x×x×x)- (2×2×3)

                        เราสามารถดึง 3 ออกมานอกวงเล็บได้เนื่องจากมี 3 อยู่ในวงเล็บเหมือนกัน

                                ได้เป็น    = 3[(3×x×x×x)-(2×2)]

                                    = 3(3x³-4)

            1.2.การแยกตัวประกอบแบบจัดหมู่แล้วดึงตัวร่วม

                                ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ a²+5b+5a+5ab

                        จากโจทย์เห็นได้ว่าหากเราเรียงพหุนามใหม่จะสามารถดึงตัวร่วมได้

                                a²+5a+5b+5ab

                                = (a²+5a) + (ab+5b)

                        = a (a+5) +b (a+5)

                        = (a+ b) (a+5)

            1.3.การแยกตัวประกอบโดยการแยก 2 วงเล็บ

                                ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ x²5x+6

                        จากโจทย์ x² จะแยกได้เป็น 2 วงเล็บได้เป็น

                                (xju)(xkv)  โดยมีj,k เป็นเครื่องหมาย +,-

                                                และมีu,v เป็นตัวประกอบของ 6 (พจน์หลัง)

                        กล่าวคือ u×v = 6 (พจน์หลัง)

                        โดย (x×v)+(x×u) = 5x (พจน์กลาง)

                        ได้ u= 3,2 v= 2,3 j= +  k= +

2.โจทย์การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง

            จงแยกตัวประกอบพหุนามต่อไปนี้

            1. 2x+10                                               2. 3x+15y+9z

            3. 52m²-117m³n+91mn                         4. a+ab+b²+b

            5. 11x³-22yz                                         6. s²+2s+1

            7. 141x+93xy²+376y+248y³                 8. x²-17x-168

            9. 2x²-5x+12                                         10. 8k²-2k-3 

            11. x²(b-c)+b²(c+x)+c²(x+b)                 12. t²-(3m+2n)+6mn

            13. (x²+3x+3) (x²-4x+3) +6x²              14. (x+y) ²-8(x+y)+16

            15. 2(a-b)+(b-a)²                                  16. a²-x²+12x-36

            17. (a+b+c)²                                        18. (x+y)³

            19. ab+2ac+3b²+6bc-5a-13b+4c-10

20. x²-y²+yz-zx-4x+2y+z+3

                เฉลย

            1. 2(x+5)                                               2. 3(x+5y+3z)

            3. 13m (4m-9m²+7n)                             4. (a+b)(b+1)

            5. 11(x³-2yz)                                         6. (s+1) ²

            7. (3x+8y)(47+31y)                             8. (x-24) (x+7)

            9. (2x+3)(x-4)                                      10.(4x-3)(2x+1)

            11. (b-c)(x+b)(x+c)                               12.(t-3m)(t-2m)

            13. (x²-3x+3)(x²+2x+3)                       14. (x+y-4)²

            15. (a-b)(2+a-b)                                  16. (a+x-6)(a-x+6)

            17. a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca                 18. x²-xy+y²

            19. (b+2c-5)(a+3b+2)                         20. (x+y-z-3)(x-y-1)

เฉลยละเอียดสำหรับข้อยากๆ(11,13,15,19,20)

11. x²(b-c)+b²(c+x)+c²(x+b)

            = x²(b-c) +b²c+b²x-c²x-bc²                  (กระจายคูณในวงเล็บโดยไม่ต้องกระจายพจน์หน้าสุด)

            = x²(b-c) +bc(b-c)+x(b²-c²)                 (จัดหมู่แล้วดึงตัวร่วม โดยจะให้ในวงเล็บเหลือเพียง b-c ไว้)

            = x²(b-c)+bc(b-c)+x(b+c)(b-c)            (แยกตัวประกอบ b²-c² ด้วยผลต่างกำลังสอง)

            = [x²+x(b+c)+bc](b-c)                         (ดึงตัวร่วมโดยดึง b-c ออกมานอกวงเล็บ)

            = (x+b)(x+c)(b-c)                                 (แยก [x²+x(b+c)+bc] เป็นสองวงเล็บ)

13. (x²+3x+3) (x²-4x+3) +6x² 

            (ให้ A = x²+3)                                       (เพื่อให้ดูง่ายขึ้นและไม่สับสน)

            = (A+3x)(A-4x)+6x²                                     (ให้ A = x²+3)

            = A²-Ax-12x²+6x²                               (กระผลคูณสองวงเล็บหน้าสุด)

            = A²-Ax-6x²                                        (ทำให้อยู่ในรูปสำเร็จ)

            = (A-3x)(A+2x)                                   (แยกตัวประกอบแบบสองวงเล็บ)

            = (x²-3x+3)(x²+2x+3)                          (อย่าลืมแทนค่า A คืนด้วย)

15. 2(a-b)+(b-a)²

= 2(a-b)+(a-b)²                                    (เราสามารถสลับที่ค่าคงที่ในวงเล็บได้แม้มีเครื่องหมายเป็นลบเนื่องจากมีกำลังสองครอบวงเล็บอยู่นั่นเอง)

= (a-b)[2+(a-b)]                                   (ดึงตัวร่วม a-b)

= (a-b)(2+a-b)                                     (ทำให้เหลือวงเล็บน้อยที่สุดก่อนตอบ)

19. ab+2ac+3b²+6bc-5a-13b+4c-10

            = (b+2c-5)a+(3b²+6bc-13b+4c-10)    (ดึง a ออกมาก่อนแล้วเรียงพจน์ตามกำลังของ a)

            = (b+2c-5)a+[3b²+(6c-13)b+4C-10)] (เรียงพจน์ในวงเล็บหลังตามกำลังของ b)

            = (b+2c-5)a+(3b+2)(b+2c-5)              (แยก 3b²+(6c-13)b+4C-10) เป็นสองวงเล็บ)

            = (b+2c-5)(a+3b+2)                            (ดึงตัวร่วมคือ b+2c-5 ออกมา)

20. x²-y²+yz-zx-4x+2y+z+3

            = x²-(z+4)x-(y²-yz-2y-z-3)                   (เรียงพจน์ตามกำลังของ x และในวงเล็บหลังเรียงพจน์ตามกำลังของ y)

                = x²-(z+4)x-[y²-(z+2)y-(z+3)]              (จัดพจน์ตามกำลังของ y และดึงตัวร่วม)

            = x²-(z+4)x-(y-z-3)(y+1)                      (แยกตัวประกอบ y²-(z+2)y-(z+3))

            = (x-y-z-3)(x+y+1)                              (แยกตัวประกอบ x²-(z+4)x-(y-z-3)(y+1))

                                                                                            

                        อ้างอิง จาก หนังสือสาระการเรียนรู้เพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ชั้น ม.2

                               และ kumon ชุดที่ j 31,j 41, j 51, j 61 และ j 71
http://siamclassview.edu.chula.ac.th/cuds51132/view.php?Page=1264992324412836